仪器精度分析与设计

精度是光电仪器的一项重要技术指标，在一定程度上决定了仪器的用途和价值。尤其对于计量类光电仪器，精度是功能指标中zui重要的一项。随着科技的发展，计量类光电仪器需要达到的精度指标越来越高，以半导体工业为例，目前个人计算机CPU线宽已达32nm，这就要求半导体的光刻设备和测量仪器本身的精度至少达到纳米量级。毫不夸张地说，仪器测量精度的提高是制造技术发展的前提。

为了设计和实现这样高精度的光电仪器，首先要对现有仪器进行精度分析，找出误差产生的根源和规律，分析误差对仪器设备精度的影响，评价该仪器的精度。精度分析一方面是确定已有仪器指标*的步骤，另一方面也有助于提出改进措施，进一步优化仪器设计，提高精度指标。

对于新仪器设计来说，精度设计或者精度分配更是重要的内容。精度分配是在精度分析的基础上，针对系统总精度指标，对各个子单元的精度进行分配，遵循一定的设计原则选择合理的仪器方案，完成元件选型，设计正确的补偿方式，在保证经济性的基础上达到高的精度。

本章主要从精度分析和精度设计两方面阐述仪器精度理论与方法，主要内容包括：各项误差的来源与特性，误差的评定和估计方法，误差的传递、转化和合成的规律；误差分配的原则和方法，提高仪器精度的设计原则，误差补偿的思路和方法等。由于仪器精度分析和设计都是实用性很强的理论方法，因此本章结合若干光电仪器的实例，对其理论方法进行具体说明，便于读者理解和掌握。

▲仪器的误差与精度

一、误差的基本概念

1.误差的定义

测量误差△i是指测得值xi与标称值（或真值）x0之间的差。即

式中，i为测量次数。

误差的大小反映了测量值对于标称值的偏离程度。误差是客观存在的，无论测量手段精度多高，误差都不会为零。多次重复测量某物理量时，各次测定值并不相同，这是误差不确定性的表现。真实的误差值是未知的，因为通常真值是未知的。为了能正确表达误差，人们根据对误差认知的准确度和可信度的要求，确定了以下方法来获得真值：

1)理论真值（即名义值）：设计时给定的或是用数学、物理公式计算的理论值，例如零件的名义尺寸等。

2)约定真值：世界各国*的一些几何量和物理量的zui高基准的量值，如作为长度基准的单位米，其定义为光在真空中1/299792458s时间间隔内所经路径的长度。

3)相对真值：当器与准确度高一个等级的仪器比较时，可将该准确度高一个等级的仪器标的测量值视为“真值”，或称其为相对真值或标准值。

2.误差的表示方法

误差可以用误差和相对误差两种方式表达。误差是指测得值x与被测量真值x0之差。误差具有量纲，能反映出误差的大小和方向，但不能反映出测量的精细程度。误差△可表示为

误差与被测量真值的比值称为相对误差。相对误差无量纲，但它能反映测量工作的精细程度。相对误差δ可以表示为

3.误差分类

按照误差的数学特征可以分为：

1)系统误差（SystematicError):系统误差的大小和方向在测量过程中恒定不变，或按一定的规律变化。一般来说，系统误差是可以用理论计算或实验方法求得，可预测它的出现，并可以进行调节和修正的。

2)随机误差(RandomError)：随机误差是由一些独立因素的微量变化综合影响造成的。其数值的大小和方向往往没有确定性规律，不可预见，但就其总体来说服从统计规律。常见的大多数随机误差服从正态分布。

3)粗大误差（Gross Error):粗大误差指明显超出统计规律预期的误差。其产生的原因主要是由于某些突发性的异常因素或疏忽所致。由于该误差的数值一般较大，所以按照一定的准则进行判别，就可以将含有粗大误差的测量数据剔除。

按照被测参数的时间特性，误差可以分为：

1)静态参数误差：不随时间变化或随时间缓慢变化的被测参数称为静态参数，测定静态参数所产生的误差称为静态参数误差。

2)动态参数误差：被测参数是时间的函数，这样的参数称为动态参数。测定动态参数所产生的误差称为动态参数误差。

按照误差间的关系可分为：

1)独立误差：彼此相互独立、互不相关、互不影响昀误差称为独立误差。

2)非独立误差（或相关误差）：一种误差的出现与其他的误差相关联，这种彼此相关联的误差称为非独立误差。在进行误差间的关联计算时，其相关系数不为零。

4.多次重复测量数据的处理

利用仪器进行物理量的测量时，多次测量的结果往往不一致，这就是因为每次测量的数据中都含有误差的缘故。在满足正态分布的重复测量条件下，假设进行了n次测量，其结果分别为xi（i=1，2，…，n)为了合理表示该重复测量的结果，通常按以下步骤进行：

1)算术平均值:即所有测量值的算术平均值，常用来作为该多次测量的*估计。 算术平均值表示为

2)残佘误差:-每个测量值与算术平均值的差值，反映当次测量与平均结果的偏差。

3)单次测量的标准差σ:反映多次测量结果的分散程度，用来衡量随机误差的大小。 单次测量的标准差σ表示为

得到单次测量的标准差之后，对测量中出现的粗大误差可以按统计准则判断并剔除其中该含有粗大误差的异常数据。例如，在大样本测量的基础上，如果随机误差服从正态分布， 残余误差分布在± 3σ以外的概率仅为0.3%，就可依据3σ准则对粗大误差进行剔除。当 时，认为该次测量xi出现粗大误差，拟从测量结果中舍去该次测量的数据。不过这一准则是基于样本数大于50的正态样本数据的统计推理的结果，在测量次数小于10时，按式（3-5)，可以得知，一个异常数据无论如何远离其他（n-1)个数据，都不会出现。对于通常样本数小于10的情形，可按误差理论介绍的诸如格拉布斯准则和狄克逊准则来进行统计判断。

剔除粗大误差后按照式(3-5)重新计算标准差σ，得到合理的单次测量均方误差。

4)算术平均值的均方误差σp:得到剔除粗大误差后的单次测量均方误差后，再进行m次测量，取算术平均值，对应的随机误差将减小至原来的。这反映的是，多次测量可以减小测量结果包含的随机误差。需要注意的是，系统误差并不能通过多次测量消除。算术平均值的均方误差σp表示为

5)重复测量结果的极限误差△max:根据误差分布接近正态的数学性质，按高的置信概率，测量结果的极限误差△max常取为

6)重复测量的结果:由两部分组成，算术平均值可视为该测量结果接近真值的一种*估计，极限误差则反映了该测量结果的随机误差大小。