【快速入门】光学成像基础

光线跟踪

对于光学系统中的透镜成像介绍，可以通过讨论光线跟踪开始。图一是一个理想的薄透镜对物体进行成像的基本光路图。物体的高度为y1，到透镜中心的距离为s1，透镜的焦距为f。透镜在另一端s2的位置成像，像高为y2

图一

对于理想的薄透镜，它的厚度足够薄，可以不计入焦距。这种情况下，穿过透镜中心的光线发生的折射可以忽略。接下来的讨论基于这种理想薄透镜，这对于一些基本规律的讨论是足够的。透镜的相差及厚度所产生的其他效应在这里不加以考虑。

图一中包含三条光路，其中任意两条都可以*确定像的位置和大小。上面一条从物体发出并平行于透镜的光轴，经过透镜折射后穿过另一侧的焦点。第二条光束穿过透镜左侧的焦点，经过折射，与光轴平行。第三条光束直接穿过透镜中心。因为透镜垂直于主光轴并且厚度很小，当光透过其中心时，折射可以忽略不计。

除了理想薄透镜假设，我们还采用了近轴近似，也就是光线与光轴的夹角θ足够小，可以把Sinθ近似为θ。

放大成像

下面使用基本的几何光学来讨论透镜的放大效应。图二显示了一个同样的光路结构。从物体出发，穿过透镜中心的光线与光轴成φ夹角，在透镜两侧形成两个相似三角形，可以得到:

φ= y1/s1 = y2/s2

进行变形得到

y2/y1 = s2/s1 = M

数值M即为透镜对物体成像的放大倍数，同时也是像距和物距之间的比例。

图二

这个比例关系对成像系统的结构构成了一个基本限制。对于一个给定尺寸的光学系统，要对物体产生特定放大倍数的成像，那么只有一个确定的透镜位置才可以满足要求。另一方面，成像系统的放大倍数不需要通过测量像和物体的尺寸来确定，它是由系统本身的结构决定的。

高斯透镜方程

现在我们再回到光线跟踪图中，来看另一个光束。在图三中，从物体出发穿过前焦点的光束，与主光轴相交形成两个相似三角形，顶角同为η，因此具有如下关系：

y2/f = y1/(s1-f)

运用放大倍数的定义公式可以得到

y2/y1 = s2/s1 = f/(s1-f)

进行一下变形，终我们得到

1/f = 1/s1 + 1/s2

这就是高斯透镜方程，它定义了透镜焦距及成像系统尺寸之间的基本关系。这个方程与放大倍数的定义公式形成一个方程组，其中含有三个变量，焦距f，物距s1，以及像距s2。再加上另外一个条件方程就可以终确定这三个变量。

另外的一个条件通常是透镜的焦距f，或者物像之间的距离，也就是s1+s2，它受系统的尺寸限制。任意一种情况都可以确定这三个变量。

图三

光学不变量

现在让我们看一下物体发出的任意一条光束如何穿过系统。图四显示了一条从物体底部出发穿过透镜顶端的光线，它和光轴之间具有大的夹角。分析这条光束在光路设计中具有重要意义，在这里它可以很好地演示任意光束是如何穿过系统的。

图四

光束到达透镜的位置与主光轴之间的距离为x。采用近轴近似并结合上面的公式，可以得到：

θ1 = x/s1

θ2 = x/s2 = (x/s1)(y1/y2)

变形得到

y2θ2 = y1θ1

这是光学成像的一条基本定律。在一个只由透镜构成的光学系统中，像的尺寸与光束和光轴之间夹角的乘积是一个常数，称之为光学不变量。这个结果对任意个数的透镜都是成立的，在一些光学著作中，也称之为拉格朗日不变量或史密斯-亥姆霍兹不变量。

这个定律基于近轴近似和理想的无相差透镜。如果考虑现实中透镜的相差，上述方程中的等号需要换成大于等于号，也就是说相差可以使这个乘积有所增加，但没有任何因素可以使它减小。

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