如何通俗理解傅里叶变换

傅里叶变换和傅里叶级数是有史以来最深奥的数学发现之一。它们帮助我们将函数分解为其基本成分。它们揭示了任何数学函数的基本模块，

使我们能够利用这些模块来更好地理解和操纵它们。但是，傅里叶级数和傅里叶变换背后的思想究竟是什么，这些 “基本成分 ”又是什么？

我们在高中都学过什么是余弦和正弦。它们将直角三角形的角度与两条边长之比联系起来。

另一种理解方式是，余弦和正弦分别是绕单位圆移动的点的 x 坐标和 y 坐标。它们是人们能想到的周期函数之一。

傅里叶级数用于周期函数。作为快速提示，如果以下条件成立，则称函数  为周期函数，基本周期为 T：

我们将周期函数的基频定义为 ，即基频周期的倒数。如果周期告诉我们函数重复的频率，

那么频率则告诉我们每单位时间（或函数所依赖的任何其他单位）有多少次重复。

现在我们已经掌握了定义傅立叶级数所需的一切。

傅里叶级数是正弦函数的无限加权和，每个正弦函数的频率都是原始周期函数基频的整数倍傅立叶级数的公式如下：

如果您已经理解了有关傅里叶级数的所有内容，那么傅里叶变换就会变得非常简单。这次我们关注的是非周期函数。傅立叶变换的公式如下：

傅立叶变换的结果是频率的函数。请记住，希腊字母欧米茄 “ω”用来表示角频率，它是乘积  的别称。当初始函数  是一个时间函数时，

傅里叶变换给出了该函数的频率内容。摘自维基百科的一句话：

时间函数的傅里叶变换是频率的复值函数，其幅值（绝对值）代表原始函数中该频率的量，其参数是该频率中基本正弦波的相位偏移。

傅里叶变换并不局限于时间函数，但原始函数的域通常被称为时域。

我们可以利用反傅里叶变换找回初始函数：

让我们比较一下反傅里叶变换和傅里叶级数。

首先，我们使用复指数来表示正弦函数，而不是使用余弦函数和正弦函数（这会导致两个积分），这样会更加简洁。积分前的系数 1/2π 是为了对称的目的。

我们马上会注意到的另一件重要事情是，我们现在有了一个积分，而不是离散的 “西格玛 ”和。请记住，积分本身也是和，不同的是，在积分下求和的量是连续的，而不是离散的。由于初始函数  现在是非周期的，我们需要所有可能的频率（从负无穷到正无穷）来表示它。在傅里叶级数的情况下，我们只使用 T 的整数倍。由于我们现在没有基本周期 T，我们不得不使用所有的 T。

至于复指数的系数，我们可以得到该函数在每个可能频率 ω 下的傅里叶变换值。正如您所看到的，从傅里叶级数的概念到反傅里叶变换的概念之间存在着明显的一一对应关系。