使用四探针法计算薄层电阻的原理
薄层电阻(也称为表面电阻或表面电阻率)是一种常见的电学性质，用于表征导体和半导体材料薄膜。它是通过薄正方形材料的横向电阻的量度，即正方形对边之间的电阻。与其他电阻测量相比，薄层电阻的主要优势在于它与正方形的大小无关，因此可以轻松比较不同的样品。
这一特性可以很容易地用四点探针并且在高效钙钛矿光伏器件的制造中是至关重要的，其中需要低薄层电阻材料来提取电荷。
薄层电阻的应用
薄层电阻是任何薄膜材料的一个重要特性，电荷将在薄膜中传播(而不是通过)。例如，薄膜器件(如钙钛矿太阳能电池或有机发光二极管)需要导电电极，其厚度通常在纳米至微米范围内。下图显示了电荷如何在LED设备内移动。电极必须横向传输电荷，并需要低薄层电阻以减少该过程中的损耗。当试图扩大这些设备的尺寸时，这变得更加重要，因为电荷在被提取之前必须沿着电极行进更远。
此外，如果已知薄层电阻和材料厚度，则可以计算电阻率和电导率。这使得材料的电气特性，纯粹是通过采取薄层电阻测量。
测量薄层电阻的四探针法
一般理论
测量薄层电阻的主要技术是四探针法(也称为开尔文技术)，使用四点探针。四点探针由四个等距、共线的电探针组成，如下图所示。
它通过施加DC电流(I)并测量内部两个探针之间的电压降。
薄层电阻方程
然后，可以使用以下公式计算薄层电阻:
Rs是薄层电阻，△V是内部探针之间测得的电压变化，I是外部探针之间施加的电流。薄层电阻通常用单位Ω/m²(欧姆每平方)来测量，以区别于体电阻。
应当注意，该等式仅在以下情况下有效:
被测材料的厚度不超过探针间距的40%
样本的横向尺寸足够大
如果不是这样，那么就需要几何校正系数来说明样品的大小、形状和厚度。该因子的值取决于所使用的几何图形。
如果被测材料的厚度已知，那么薄层电阻可用于计算其电阻率:
这里，ρ是电阻率，t是材料的厚度。
消除接触电阻
使用四点探针进行电气表征的主要优点之一是测量中消除了接触电阻和导线电阻。下图显示了四点探针测量的电路电阻..
施加的电流I通过外部探针进入和离开样品，并流过样品。电压表通常具有高电阻，以防止它们影响被测电路，因此没有电流流过内部的两个探头。仅测量内部探针之间的电压，这意味着线电阻(RW2和RW3)和接触电阻(RC2和RC3)对测量没有贡献。任何测得的电压下降(△V)将因此来自样本电阻(RS2).这简化了薄层电阻方程，因此只有△V和施加的电流来求的值RS2(即薄层电阻)。
几何校正系数
虽然上述薄层电阻公式与样品的几何形状无关，但这仅适用于样品明显大于(通常尺寸为探针间距的40倍)且样品薄于探针间距的40%的情况。如果不是这种情况，探针之间可能的电流路径会受到靠近样品边缘的限制，从而导致对薄层电阻的高估。为了说明这种差异，需要一个基于样品几何形状的校正系数。
本指南中的所有校正系数均来自Haldor Topsø，四点电阻率测量中的几何因素, 1966.
圆形样品
对于直径的圆形样品d，在样品中心测量，可使用以下公式计算校正系数:
在这里s是探针之间的距离。为d >> s该方程趋于一致，使得能够使用未校正的方程。
矩形样本
对于矩形样品，几何校正系数的确定稍微复杂一些，因为没有方程。取而代之的是经验决定的校正表因素已使用。此表中的值仅适用于探针接触样品中心，并平行于样品最长边缘(l)，如下图。
例如，假设上图所示的矩形样本有一条长边l= 20毫米，短边w= 10毫米，所用探针的间距为s= 2 mm。在这种情况下，l / w= 2且w / s= 5，因此在表中搜索满足这两个值的校正系数，沿着列查找l / w= 2，行为w / s= 5，即C= 0.7887.将测得的薄层电阻乘以该值，得到样品的正确值。
并不是每个样本都能归入这些类别。如果是这种情况，建议使用三次样条插值来估计样本的适当校正系数。
值得注意的是，上述圆形和矩形样品的校正系数仅适用于在中进行的测量样本中心。如果测量值不在中心，则需要不同的校正系数。
其他形状和探针位置
对于不同的样品形状和不在样品中心进行的测量，需要替代的校正系数。其中大部分可以在Haldor Topsø找到，四点电阻率测量中的几何因素，1966年，或者F. M .史密茨，用四探针测量薄层电阻率贝尔系统。技术。《国际法院判例汇编》，1958年5月，第711页。
如果样品的形状不规则，考虑它是更接近矩形还是圆形，然后估计样品中适合的形状大小。
厚样品
如果被测样品的厚度大于探针间距的40%,则需要额外的校正系数。所使用的校正因子取决于样品厚度的比率(t)与探针间距(s)以及下表中列出的一些可能值:
与矩形样本一样，如果t / s不等于表中给定的值之一，建议使用三次样条插值来估计样本的适当校正因子。
四点探针方程推导
为了确定如何使用四点探针测量薄膜的薄层电阻，必须首先评估一个简化的方案。想象一个任意尖锐的探针接触并注入电流(通过施加电压)到一个半无限体积(除了朝向探针的方向，所有方向都是无限的)的导电材料中。
电流通过等电位的同心半球壳从接触点向外传播，每个等电位的同心半球壳具有电流密度(J)的:
在那里r是距探头的径向距离(2πr2是半球的表面积)。通过应用欧姆定律(E = ρJ)每个外壳上的电场等于外壳厚度上的电压降，或-δV/δr(这一项是负的，因为电压随r)，并且随着壳的厚度趋向于零，获得下面的方程:
这可以集成在r和r '获得:
通过应用边界条件V接近零r接近无穷大时，等式简化为:
现在想象有四个任意尖锐的探针(标为1到4)与半无限导电材料接触，它们以相等的间距排成一行(s).它们被设置成使电流通过探针1注入并被探针4收集。如果假设每个探针的边界条件相同，则任意点的电压等于每个探针单独产生的电压之和，即:
在哪里r1和r4分别是距离探针1和探针4的径向距离。然后测量探针2和3之间的电压。使用上述等式，探针2和3的电压为:
因此，电压的变化(δV探头2和3之间的)是:
因此，探针之间的电阻率为:
这个表达式只适用于半无限体积的情况，而不适用于薄膜的情况。然而，使用类似的分析可以导出新的表达式。如前所述，想象任意尖锐的探针接触并向具有厚度的材料薄膜中注入电流t.
在这种情况下，电流在等电位的短圆柱壳中远离探头(通过材料),每个壳的电流密度为:
通过应用与前面相同的电场条件(欧姆定律和壳厚度趋于零)，每个壳上的电场为:
电阻率已经被定义为薄层电阻乘以材料的厚度，因此可以在上面的等式中进行替换，得到:
这可以集成在r和r '获得:
与之前不同的是，由于无穷大的自然对数不为零，所以不能假设当r趋近于无穷大时电压趋于零。然而，这并不影响分析，因为不同点的电压差(δV)是四探针测得的值。
现在想象四探针系统与薄膜接触，附加条件是薄膜的厚度(t)与探针间距相比可以忽略不计(s).对于由探针1注入并由探针4收集的电流，等式变为:
因此，探针2和3测得的电压为:
因此，电压变化为:
其可以被重新排列以给出:
因此
，通过测量内部探针之间的电压变化和外部探针之间施加的电流，我们可以测量样品的薄层电阻。
